ESTADÍSTICA

Es una ciencia formal y una herramienta que estudia usos y análisis provenientes de una muestra representativa de datos, busca explicar las correlaciones y dependencias de un fenómeno físico o natural, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional.

Hoy en día, la estadística es una ciencia que se encarga de estudiar una determinada población por medio de la recolección, recopilación e interpretación de datos. Del mismo modo, también es considerada una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivo. 

La estadística se divide en dos grandes áreas:

• Estadística descriptiva: Se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Su objetivo es organizar y describir las características sobre un conjunto de datos con el propósito de facilitar su aplicación, generalmente con el apoyo de gráficas, tablas o medidas numéricas. 

•  Estadística inferencial: Se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas sí/no (prueba de hipótesis), estimaciones de unas características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen análisis de varianza, series de tiempo y minería de datos. Su objetivo es obtener conclusiones útiles para lograr hacer deducciones acerca de la totalidad de todas las observaciones hechas, basándose en la información numérica.

Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada, pero la estadística inferencial, por su parte, se divide en estadística paramétrica y estadística no paramétrica.

 

Existe también una disciplina llamada estadística matemática, la que se refiere a las bases teóricas de la materia. La palabra «estadísticas» también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas económicas, estadísticas criminales, y otras.

LEY DE COSENOS

El teorema del coseno, denominado también como ley de cosenos , es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC cualquiera, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.

 

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo ${\displaystyle \gamma \,}$ es recto o, dicho de otro modo, cuando ${\displaystyle \cos \gamma =0\,}$, el teorema del coseno se reduce a:

${\displaystyle \,c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.

El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar:

• el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}$.

• los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:

${\displaystyle \gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$.

Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.

Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'
${\displaystyle \,cc'=aa'+bb'-(ab'+a'b)\cos \gamma }$

$$                                            

"Ley del Seno"

Para resolver triángulos rectángulos simplemente empleamos el teorema de pitágoras. A diferencia de estos, Existen triangulos que no tienen un ángulo recto, denominados "Triángulos oblicuángulos" y para resolverlos haremos uso de la ley del seno y ley del coseno.

LEY DEL SENO: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. 

Ejemplo: Resuelva el siguiente triangulo, determinando los elementos restantes.

A= 180º-105º-45º

A= 30º

CIRCUNFERENCIA

"Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio".

Una circunferencia (C) en negro, diámetro (D) en cyan, radio (R) en rojo, y centro (O) en magenta.

Distíngase del círculo, que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en el interior de dicha circunferencia, o sea, la circunferencia es el perímetro del círculo. Los puntos de la circunferencia están a una distancia igual al radio del centro del círculo, mientras los demás puntos del círculo están a menor distancia que el radio.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden; o bien fuera una elipse cuyas directrices están en el infinito. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.

Longitud de la circunferencia

El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia (actual Irak), cuando usaban los carros con rueda, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia. La longitud ${\displaystyle \ell }$ de una circunferencia es:

${\displaystyle \ell =2\pi r=\pi d}$

donde r es la longitud del radio y d=2r es el diámetro. Así pues ${\displaystyle \pi \,}$ (número pi) es, por definición, el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

${\displaystyle \pi ={\frac {\ell }{d}}={\frac {\ell }{2r}}}$

Área del círculo delimitado por una circunferencia

Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.

Arquímedes, en su tratado Sobre la medida del círculo, definió que el área del círculo era igual en área a un triángulo rectángulo, siendo uno de sus catetos la longitud ${\displaystyle \ell }$ de la circunferencia y el otro el radio r. Así, el área del círculo delimitado por la circunferencia es:

${\displaystyle {\text{Área}}={\frac {1}{2}}\ell r=\pi r^{2}}$

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas

circunferencia de radio dos en un    sistema de coordenadas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\,}$.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,}$.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

resultando:

${\displaystyle a=-{\frac {D}{2}}}$

${\displaystyle b=-{\frac {E}{2}}}$

${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}-F}}}$

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\,}$, la ecuación de la circunferencia es:

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0.\,}$

 

             CURIOSIDAD MATEMÁTICA 

  Una curiosidad que encierra 5 curiosidades mas...

El día 14 de marzo (3/14 en el formato de fecha de EE. UU.), amantes de las matemáticas celebran «El día de π (Pi)» alrededor del mundo.

Seguramente no es de las celebraciones más populares y no encontrarás ninguna fiesta en su honor, sin embargo, te propongo un interesante recorrido en el cual conoceremos 5 curiosidades sobre Pi para rendir tributo a este número irracional.

1. El número más popular

Es común encontrarlo no solo en la naturaleza, sino en numerosas producciones artísticas y creaciones humanas.

Por mencionar algunos ejemplos, hay una película de Aronofsky llamada Pisobre un matemático que encuentra a Pi en toda la existencia, Hitchcock representa a una organización de espionaje en su Cortina rasgada (1966), se hacen chistes de Pi en Los Simpsons y también en Futurama, entre muchos más.

2. La gran «π-rámide» de Giza

El escritor británico John Taylor propuso su teoría de que la Gran pirámide de Giza, la más antigua de las 7 maravillas del mundo, fue construida en base a Piy la proporción dorada del número áureo, entre los años 2589 y 2566 a. E. C.

La teoría aún se encuentra en debate, pero es muy lógica e interesante. Taylor plantea que al dividir el perímetro de la pirámide de su base por su altura produce un número equivalente a 2 Pi.

3. Día de Pi + Cumpleaños de Einstein = El día más nerd del año

El 14 de marzo es un día muy especial para los fanáticos de las ciencias. Además de ser «El día de Pi», también se cumple un nuevo aniversario del nacimiento de Albert Einstein, gigante de la física.

Frank Borman, comandante de la misión espacial Apolo 8, Giovanni Schiaparelli, célebre astrónomo e historiador, y Gene Cernan, la última persona en pisar la Luna, también cumplen años este día.

Sin lugar a dudas, un día muy especial para todo nerd.

4. La historia y el descubrimiento de Pi

El descubrimiento del número Pi se remonta miles de años atrás en la historia y se sabe que ya los antiguos babilonios tenían conocimiento de la existencia de Pi hace unos 4000 años.

Existe una tableta de arcilla de origen babilónico y que data de entre los años 1900 y 1680 antes de la Era Común. en la cual se hace mención del número, aunque se lo calcula no con la cifra de 3,14, sino como 3,125.

Por otra parte, el papiro matemático de Rhind, que data del 1650 a. E. C. (uno de los más famosos papiros matemáticos del antiguo Egipto), determina su valor numérico equivalente a 3,1605.

Finalmente, el antiguo matemático, físico, ingeniero e inventor griego,Arquímedes de Siracusa (287-212 a. E. C.); uno de los científicos más importantes de la historia, logró aproximar la cifra utilizando el teorema de Pitágoras.

5. Existe un estilo de escritura en honor a Pi, se llama «Pilish»

Se conoce como Pilish a un estilo de escritura tan peculiar como anormal, creado vaya uno a saber por qué clase de seres amantes de las matemáticas y la literatura...

Básicamente, este lenguaje consiste en la longitud de las palabras consecutivas coincidan con los dígitos del número Pi (π), es decir 3,14...

Es un invento anglosajón y funciona con mayor facilidad en el inglés. En el siguiente ejemplo veremos cómo cada palabra, de cada frase, coincide con los 15 primeros dígitos de Pi:

«How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics!»

• How = 3
• I = 1
• need = 4
• a = 1
• drink = 5
• alcoholic = 9
• in = 2
• nature = 6

Y así sucesivamente... Aquí un ejemplo en español:

Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros

Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo ${\displaystyle \alpha \,}$, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

${\displaystyle \sin \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}={\frac {a}{c}}}$

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa.

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}={\frac {b}{c}}}$

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AC}}}={\frac {a}{b}}}$

ver video sobre razones trigonometricas

LA HISTORIA DE LA CALCULADORA 

La necesidad de sumar y hacer cálculos apareció muy temprano entre los humanos, para fines como el comercio, o la observación de la naturaleza y de las estrellas. Probablemente una de las primeras maneras que encontramos los humanos para contar, es usando nuestros dedos. Un poco más avanzado fue el uso de un simple palo tallado, al cual se le marcaban rayas para ir llevando la cuenta de algo. Pero el invento que llegó a revolucionar al mundo en el área de las matemáticas, fue el ábaco. Este se originó en la época mesopotámica alrededor del 2700-2300 a.C  y consistía en una tabla con columnas ordenadas sucesivamente, las cuales representaban el orden por magnitud del sistema numérico sexagesimal que tenían. A través de la historia distintas versiones de este invento fueron apareciendo, tanto en China, Japón, Roma, India, Rusia, Korea, etc.

Con el paso del tiempo, sistemas más complejos de cálculo se desarrollaron, como lo fue el mecanismo de Anticitera, procedente de la antigua Grecia e inventado en los años 150-100 a.C, considerado como el primer computador análogo mecánico.  Otros dispositivos mecánicos utilizados para realizar algún tipo de cálculo, incluyeron alplanisferio, al reloj astronómico de Su Song y de Al-Jazari, este último considerado como el primer computador análogo programable.

Precursores de la calculadora electrónica

El desarrollo de las calculadoras electrónicas

El siglo XVII fue crucial en la historia de las calculadoras mecánicas. Por una parte, ocurrió la invención de los logaritmos, las tablas logarítmicas, y la regla de cálculo (1622), que por su fácil uso para dividir y multiplicar, dominó entre quienes necesitaban realizar estas operaciones.

En el mismo siglo, aparecieron las primeras máquinas capaces de realizar operaciones aritméticas por si mismas, consideradas los primeros prototipos de las calculadoras actuales. En 1623 se inventó la primera máquina de sumar, un aparato grande lleno de palancas, creación de Wilhelm Schickard, en Alemania. Originalmente se le llamó el "reloj calculador", y podía sumar y restar números de hasta seis dígitos.

La sucesora de de esta máquina fue la famosa Pascalina, desarrollada por Blaise Pascal en 1642 en Francia. Pascal empezó a pensar en este aparato luego que a su padre le asignaran la tarea de reorganizar los ingresos por impuestos en la provincia francesa de Haute-Normandie, creando un aparato que podía sumar, restar, multiplicar y dividir.

Pascal tenía apenas 19 años al inventar esta máquina, que se convirtió en un hito para las calculadoras y precursora importantísima para el desarrollo de los equipos que tenemos hoy. Después de evaluar 50 prototipos, Pascal sacó a la venta su "Pascalina" en 1645, obteniendo una "patente" de la época otorgada por el mismísimo rey Luis XIV en 1649.

El lanzamiento de la Pascalina dio inicio al desarrollo de las calculadoras mecánicas en Europa y el mundo, desarrollo que tres siglos después posibilitaría la creación del microprocesador, desarrollado por primera vez para una calculadora en 1971.

Uno de los que trabajó sobre la Pascalina fue el filósofo y matemático alemán Gottfried Leibniz, que perfeccionó la máquina creando la "rueda de Leibniz", un cilindro colocado sobre un engranaje que, sumado a una rueda para sumar, se utilizó en el motor de las calculadoras mecánicas y posibilitó la producción en masa de las calculadoras. Leibniz fue también responsable de refinar el sistema de números binario, la base de todos los sistemas digitales, como el PC que estás usando ahora.

Aunque hubo algunos desarrollos más en los años siguientes, no sería hasta el siglo XIX y la Revolución Industrial que las calculadoras vieron un nuevo auge y rápidos avances. En 1902, el estadounidense James L. Dalton hizo una de las mayores innovaciones en la "interfaz de usuario" de la calculadora, insertando botones en lugar de palancas.

En 1948 apareció en Viena, Austria, la calculadora Curta, que aunque era bastante cara, se convirtió en un hit debido a su portabilidad. La calculadora mecánica tenía un diseño realmente compacto, que cabía en una mano, y permitía sumar, restar, multiplicar y dividir.

El desarrollo paralelo de la electrónica y la creación de los primeros computadores tipo mainframe en la década de 1940 que utilizaban tubos de vacío y más tarde, transistores, permitió la creación de las calculadoras electrónicas.

En 1954, IBM presentó una gran calculadora basada en transistores, y en 1957 lanzó la primera calculadora comercial completamente electrónica, llamada IBM 608. Este equipo, sin embargo, tenía el problema que debía almacenarse en distintos gabinetes y costaba alrededor de US$80.000.

Paralelamente, Casio en Japón, lanzaba su calculadora modelo 14-A que es catalogada como la primera calculadora eléctrica relativamente compacta (iba instalada dentro de un escritorio). Digo eléctrica y no electrónica porque estaba basada en un relay y no en una placa lógica.

En octubre de 1961 apareció ya la primera calculadora 100% electrónica llamada Sumlock Comptometer ANITA, hecha por los británicos de Bell Punch. Esta calculadora utilizaba tubos de vacío, tubos de cátodos fríos y decatrones en sus circuitos, además de 12tubos “Nixie” como pantalla.

En la década de 1960, las calculadoras eran bastante grandes y pesadas porque requerían usar cientos de transistores en varias placas de circuitos, consumiendo mucha energía por lo que debían estar conectadas a la corriente. Hubo muchos esfuerzos para poner la lógica usada en una calculadora en cada vez menos circuitos integrados (chips), y este esfuerzo fue uno de los principales impulsores del desarrollo de los semiconductores.

Empresas como Canon, Texas Instruments, Hayakawa Electric (hoy Sharp), Rockwell Microelectronics, Busicom, Mostek, Intel, General Instruments y Sanyo compitieron y formaron alianzas para crear los semiconductores.

Para 1970, este trabajo había dado frutos, permitiendo la creación de calculadoras portátiles que usaban baterías recargables. Las primeras calculadoras portátiles aparecieron en Japón ese año, y fueron rápidamente vendidas alrededor del mundo. Algunos de estos equipos eran la Sanyo ICC-0081, la Canon Pocketronic y la Sharp QT.8B.

El esfuerzo en el desarrollo de un circuito integrado, en tanto, culminaría tan solo 1 año después, con la primera "calculadora en un chip", la MK6010 de Mostek, seguida por un modelo de Texas Instruments ese mismo año. De ahí en adelante este se convirtió en el modelo para las calculadoras alrededor del mundo. Aunque estas primeras calculadoras portátiles eran muy caras, con el paso del tiempo los avances en la electrónica junto a la de tecnologías en pantallas (fluorescentes, LED y LCD) harían que en tan solo unos pocos años los precios fuesen accesibles para muchos.

En 1973, Texas Instruments lanzó la primera calculadora científica, la SR-10, que costaba US$150 e incluía un botón para "π" (pi). En los siguientes años se sumaron funciones logarítmicas, trigonometría y otros.

Tecnologías como la de un CMOS y de paneles solares, permitieron luego la creación de calculadoras programables y calculadoras sin necesidad de pilas. A medida también que avanzaba la programación y el conocimiento matemático también se fueron implementando más funciones, como derivadas, integrales y ecuaciones diferenciales. En la década de 1980 aparecieron las calculadoras financieras, y desde entonces han seguido su desarrollo para estar emuladas en casi todas partes, permitiéndonos hoy en día aprovechar de este invento en casi cualquier dispositivo electrónico, desde un reloj a un teléfono.