INTERVALOS

Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos.

Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.

Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos.

Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.

Sean a y b dos números reales tales que a < b.

Intervalo cerrado

Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos.

[a, b] = { x / a £ x £ b}

Intervalo abierto

Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha)

Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b.

(a, b] = {x / a < x £ b}

Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda)

Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b.

[a, b) = { x / a £ x < b}

Intervalos infinitos

                      

[a, +¥) = { x / x ³ a}                                 (a, +¥) = { x / x > a}

                        

(-¥ , b] = { x / x £ b}                                 (-¥ , b) = { x / x < b}

(-¥ , +¥ ) = R

Ejemplo. Interprete gráficamente los intervalos:    a) [-2, 3]    b) (1, 4)    c) (0, 5]    d) [1, +¥ )    e) (-¥ , 3)

a) El intervalo [-2, 3] comprende todos los números reales entre -2 y 3. Como es cerrado incluye los extremos. Su representación gráfica es:

b) El intervalo (1, 4) corresponde a todos los números reales entre 1 y 4. Es abierto pues no incluye a los extremos. Gráficamente:

c) El intervalo (0, 5] comprende todos los números reales entre 0 y 5 incluyendo el extremo 5. Se trata de un intervalo semiabierto a izquierda o bien semicerrado a derecha.  Su gráfica es:

d) El intervalo [1, +¥ ) es infinito y comprende todos los números reales mayores o iguales a 1. Gráficamente:

e) El intervalo (-¥, 3) es infinito y comprende todos los números reales menores que 3. Su gráfica es:

A modo de resumen:

Nombre del intervalo	Notación conjuntista	Notación de intervalos	Representación gráfica
Abierto	{x / a < x < b}	(a, b)
Semicerrado a derecha	{x / a < x £ b}	(a, b]
Semicerrado a izquierda	{ x / a £ x < b}	[a, b)
Cerrado	{ x / a £ x £ b}	[a, b]
Infinito abierto a izquierda	{ x / x > a}	(a, +¥ )
Infinito cerrado a izquierda	{ x / x ³ a}	[a, +¥ )
Infinito abierto a derecha	{ x / x < b}	(-¥ , b)
Infinito cerrado a derecha	{ x / x £ b}	(-¥ , b]
Infinito	R	(-¥ , +¥ )

Propociòn Áurea 

La proporción áurea es un número irracional que descubrieron pensadores de la Antigüedad al advertir el vínculo existente entre dos segmentos pertenecientes a una misma recta. Dicha proporción puede hallarse en la naturaleza (flores, hojas, etc.) y en figuras geométricas y se le otorga una condición estética: aquello cuyas formas respetan la proporción áurea es considerado bello.

Esta proporción, que también suele mencionarse como razón áurea, número áureo o divina proporción, incluso solía ser señalada por sus supuestas propiedades místicas. Su ecuación se expresa como 1 más la raíz cuadrada de 5, todo sobre 2, y el resultado es aproximadamente igual a 1,61803398874989…

Puede decirse que la proporción áurea surge de la relación entre un segmento a y un segmento b. El segmento a es más extenso que el segmento b, mientras que la longitud total de la recta es, al segmento a, como el segmento a es al segmento b.

Si ponemos la proporción áurea en una expresión algebraica, obtenemos la siguiente ecuación: (a + b) / a = a / b. El número áureo, que se lo menciona con la letra griega phi, es el resultado de la división entre a y b.

Otra manera de entender la noción de proporción áurea consiste en hallar la siguiente equivalencia, reflejada también en la expresión algebraica anterior: si tomamos un segmento y lo cortamos en dos, el cociente de la división de la longitud de la recta (a+b) y la longitud del segmento más largo (a) debe ser idéntico al cociente de la división de la longitud del segmento más largo (a) y la longitud del segmento menor (b).

Un concepto íntimamente ligado al de proporción áurea es la sucesión de Fibonacci, descubierta por el matemático italiano Leonardo de Pisa, también responsable de la difusión del sistema árabe de numeración en el continente europeo. Dicha sucesión presenta una secuencia infinita de números en la cual la suma de cualquier par da como resultado el número siguiente (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etcétera). Curiosamente, si dividimos cualquier número de la sucesión de Fibonacci por el que lo precede (especialmente a partir del 5) nos da un resultado que se aproxima al número áureo.

Aunque su definición resulte abstracta y algo difícil de entender, la aplicación de la proporción áurea es importante en la fotografía, la pintura, la escultura y otras artes que suelen vincular el ideal de belleza a las simetrías y las proporciones.

La representación gráfica de la proporción áurea, que se obtiene trazando una serie de rectángulos y uniendo algunos de sus vértices con una línea espiralada, da como resultado la conocida Espiral de Oro, la cual se encuentra muy frecuentemente en la naturaleza (dos ejemplos son las conchas marinas y las semillas de girasol). En la fotografía, el uso de dicha figura para ubicar los diferentes objetos puede ofrecer resultados impresionantes, con una armonía y una fluidez que reflejan el espíritu de la escena.

A pesar de los beneficios que puede traer la proporción áurea a la fotografía, los expertos recomiendan usar este concepto como una guía, en lugar de convertirlo en una estructura rígida que impida la composición espontánea y creativa de las imágenes. Además, es importante resaltar que no todas las cámaras tienen las características adecuadas para su aplicación (por ejemplo, por contar con sensores cuadrados, ya que la espiral completa abarca un rectángulo, o sea que es más ancha que alta), y eso no significa que no sean capaces de realizar buenas capturas.

Del mismo modo, la aplicación de la Espiral de Oro en la pintura y la escultura puede elevar los resultados, pero de ninguna manera debería convertirse en el único camino hacia la creación de obras artísticas.

Información tomada de :http://definicion.de/proporcion-aurea/

ESTADÍSTICA

Es una ciencia formal y una herramienta que estudia usos y análisis provenientes de una muestra representativa de datos, busca explicar las correlaciones y dependencias de un fenómeno físico o natural, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional.

Hoy en día, la estadística es una ciencia que se encarga de estudiar una determinada población por medio de la recolección, recopilación e interpretación de datos. Del mismo modo, también es considerada una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivo. 

La estadística se divide en dos grandes áreas:

• Estadística descriptiva: Se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Su objetivo es organizar y describir las características sobre un conjunto de datos con el propósito de facilitar su aplicación, generalmente con el apoyo de gráficas, tablas o medidas numéricas. 

•  Estadística inferencial: Se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas sí/no (prueba de hipótesis), estimaciones de unas características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen análisis de varianza, series de tiempo y minería de datos. Su objetivo es obtener conclusiones útiles para lograr hacer deducciones acerca de la totalidad de todas las observaciones hechas, basándose en la información numérica.

Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada, pero la estadística inferencial, por su parte, se divide en estadística paramétrica y estadística no paramétrica.

 

Existe también una disciplina llamada estadística matemática, la que se refiere a las bases teóricas de la materia. La palabra «estadísticas» también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas económicas, estadísticas criminales, y otras.

LEY DE COSENOS

El teorema del coseno, denominado también como ley de cosenos , es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC cualquiera, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.

 

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo ${\displaystyle \gamma \,}$ es recto o, dicho de otro modo, cuando ${\displaystyle \cos \gamma =0\,}$, el teorema del coseno se reduce a:

${\displaystyle \,c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.

El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar:

• el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}$.

• los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:

${\displaystyle \gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$.

Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.

Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'
${\displaystyle \,cc'=aa'+bb'-(ab'+a'b)\cos \gamma }$

$$                                            

"Ley del Seno"

Para resolver triángulos rectángulos simplemente empleamos el teorema de pitágoras. A diferencia de estos, Existen triangulos que no tienen un ángulo recto, denominados "Triángulos oblicuángulos" y para resolverlos haremos uso de la ley del seno y ley del coseno.

LEY DEL SENO: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. 

Ejemplo: Resuelva el siguiente triangulo, determinando los elementos restantes.

A= 180º-105º-45º

A= 30º

CIRCUNFERENCIA

"Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio".

Una circunferencia (C) en negro, diámetro (D) en cyan, radio (R) en rojo, y centro (O) en magenta.

Distíngase del círculo, que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en el interior de dicha circunferencia, o sea, la circunferencia es el perímetro del círculo. Los puntos de la circunferencia están a una distancia igual al radio del centro del círculo, mientras los demás puntos del círculo están a menor distancia que el radio.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden; o bien fuera una elipse cuyas directrices están en el infinito. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.

Longitud de la circunferencia

El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia (actual Irak), cuando usaban los carros con rueda, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia. La longitud ${\displaystyle \ell }$ de una circunferencia es:

${\displaystyle \ell =2\pi r=\pi d}$

donde r es la longitud del radio y d=2r es el diámetro. Así pues ${\displaystyle \pi \,}$ (número pi) es, por definición, el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

${\displaystyle \pi ={\frac {\ell }{d}}={\frac {\ell }{2r}}}$

Área del círculo delimitado por una circunferencia

Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.

Arquímedes, en su tratado Sobre la medida del círculo, definió que el área del círculo era igual en área a un triángulo rectángulo, siendo uno de sus catetos la longitud ${\displaystyle \ell }$ de la circunferencia y el otro el radio r. Así, el área del círculo delimitado por la circunferencia es:

${\displaystyle {\text{Área}}={\frac {1}{2}}\ell r=\pi r^{2}}$

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas

circunferencia de radio dos en un    sistema de coordenadas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\,}$.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,}$.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

resultando:

${\displaystyle a=-{\frac {D}{2}}}$

${\displaystyle b=-{\frac {E}{2}}}$

${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}-F}}}$

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\,}$, la ecuación de la circunferencia es:

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0.\,}$