Intervalos

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

  Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x / a < x < b}

 Intervalo Cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo Semiabieto por la Izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

 Intervalo Semiabierto por la Derecha

 

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.

LÓGICA BINARIA

 La lógica binaria trata de las operaciones lógicas con variables que adoptan sólo dos valores posibles (0,1), tomando como referencia que el valor “0” corresponde a un valor que se puede denominar “NO”, “Falso”, “Bajo”, “Abierto”, etc., y el valor “1” como “SI”, “Verdadero”, “Alto”, ‘Cerrado”, etc., en dependencia del sistema a que se aplique. Por tanto, los factores que intervienen en una operación lógica sólo pueden tomar dos valores, verdadero o falso, y el resultado de dicha operación lógica sólo puede tener un valor verdadero o falso

Reseña histórica

Este tipo de álgebra fue desarrollada a principios del siglo XIX por el matemático George Boole y es aplicable a circuitos eléctricos digitales, circuitos con fluidos, con luz etc. La adaptación del álgebra de Boole a los computadores digitales fue presentada en 1938 por Claude Shannon de los Laboratorios Bell. Esta lógica se aplica en muchas esferas, pero en la computación es donde más se ha desarrollado, tanto en las instrucciones como en el funcionamiento de los componentes electrónicos.

Funciones lógicas

La cantidad de combinaciones que se pueden establecer en una operación de lógica binaria depende de la cantidad de variables que intervengan en ella. Como las variables solo pueden tomar dos valores posibles, las combinaciones posibles serían dos elevada a la cantidad de variables. Por ejemplo, para cuatro variables serían 16 combinaciones (2^4=16). El resultado de dicha operación va ha depender del tipo de función que se aplique.

Función OR

La función OR es equivalente a la conjunción "O" de nuestra lengua, también denominada suma lógica. Al aplicar esta función sobre dos variables (A y B), el resultado (S) será el siguiente: Si al menos una de las dos variables tiene un valor verdadero (1), entonces el resultado será verdadero. Para esta función con dos variables son posibles cuatro combinaciones, o sea:

A	B	S
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Función AND

La función AND es equivalente a la conjunción "Y" de nuestra lengua, denominada también multiplicación lógica. Al aplicar esta función sobre dos variables (A y B), el resultado (S) será el siguiente: El resultado será verdadero si y sólo si, A y B son verdaderos. Es decir:

A	B	S
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Función EQUAL

Para esta operación, el resultado será verdadero si la variable A es verdadera, de lo contrario será falso. Las combinaciones posibles son las siguientes:

A	S
1	1
0	0

Función NOT

El resultado de esta función es similar a la función EQUAL pero negada. Es decir, si la variable A es verdadera, el resultado será falso y viceversa:

A	S
1	0
0	1

Función NAND

Es equivalente a la a la función AND negada, es decir, el resultado será falso si ambas variables son verdaderas, de lo contrario, si al menos una es falsa, el resultado será verdadero. Sería de esta forma:

A	B	S
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Función NOR

Esta función es equivalente a la a la función OR negada, es decir, el resultado será verdadero si ambas variables son falsas, de lo contrario, si al menos una es verdadera, el resultado será falso. Sería de esta forma:

A	B	S
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Función OREX

La función OREX (OR exclusiva) El resultado será verdadero si una de las dos variables tiene un valor verdadero, pero el resultado será falso si ambas tienen un valor falso o ambas un valor verdadero.

A	B	S
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Función NOREX

La función NOREX es equivalente a la función OREX negada El resultado será falso si una de las dos variables tiene un valor falso, pero el resultado será verdadero si ambas tienen un valor falso o ambas un valor verdadero.

A	B	S
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Axiomas

Durante la síntesis de funciones lógicas son muy empleados los axiomas o propiedades principales de esta álgebra.

Propiedad conmutativa

A+B = B+A

AxB = BxA

Propiedad asociativa

A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C

Ax(BxC)=(AxB)xC=AxBxC

Propiedad distributiva

Ax(B+C)=AxB+AxC

A+(BxC)=(A+B)x(A+C)

"Cuando el hombre tuvo la necesidad de ordenar conjuntos y saber la cantidad de elementos que los conformaban, así aparecieron los números naturales."

¿Qué son los números naturales?

Los números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto.

Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra $N$

para representar el conjunto de los números naturales; así, cuando veas esta $N$

en un libro de matemáticas, o en alguna clase, sabrás a qué se refiere.

¿Te has preguntado cuál es el último número natural?  No hay, sencillamente no existe un número natural que sea más grande que todos los demás, cada vez que pienses en uno, podrás encontrar muchos que sean mayores que él, como no terminan nunca, decimos que $N$

es un conjunto infinito.

 Para negociar y ordenar cosas, el hombre tuvo la necesidad de representar las cantidades de lo que tenía para saber con qué contaba exactamente. De ahí surgió la necesidad de crear símbolos que representaran esas cantidades.

Por ejemplo, si alguien sabía cuántas gallinas tenía, podría establecer del mismo modo la cantidad de días que podría alimentar a su familia.

A partir de esta necesidad el hombre crea lo que hoy conocemos como números naturales. Estos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades.

Para Qué Sirven las Matemáticas: 5 Situaciones Clave

Es posible que aún así te preguntes si las Matemáticas son realmente imprescindibles para todo el mundo, o si lo son solo para aquellos que desarrollan y diseñan estos aparatos. A continuación te contamos para qué sirven las matemáticas en tu vida diaria.

5 Momentos en los que Apreciarás Haber Estudiado Matemáticas

Matemáticas en la Vida Cotidiana #1: Programación

Tener un blog personal o una página web es muy habitual hoy en día. Existen muchas plataformas como WordPress o Blogger que hacen que esto posible sin tener conocimiento de lenguajes de programación. Sin embargo, si quieres optimizar tu sitio web, más te vale tener nociones matemáticas para calcular cómo distribuyes el espacio y las dimensiones de tus recursos visuales.

Matemáticas en la Vida Cotidiana #2: Operaciones Bancarias

Hipotecas, planes de pensiones, préstamos, comisiones, inversiones… todo tipo de acuerdo que tengas con un banco estará gobernado por las matemáticas. Cuanto más sepas, más probabilidades tendrás de hacer lo correcto con tu dinero. Además, si te gusta viajar e ir a otros países o incluso comprar online, te enfrentarás a cambios de moneda en múltiples ocasiones.

Matemáticas en la Vida Cotidiana #3: Probabilidades

La estadística suele ser una de las ramas de las matemáticas más usadas. Todos calculamos probabilidades en nuestra vida cotidiana. Probabilidades de ser admitidos en la universidad, de acertar, de ganar la lotería, etc. Además, si te gusta jugar al póker, a la ruleta o a otros juegos de azar, ¡más te vale saber algo de estadística!

Matemáticas en la Vida Cotidiana #4: Diseño de escenarios

La estadística juega un papel fundamental al analizar resultados pasados pero, sobre todo, para diseñar escenarios de futuro. Las previsiones optimistas, realistas y pesimistas son habituales en todo tipo de negocios y proyectos. Para construirlas, la progresión matemática es el elemento principal.

Matemáticas en la Vida Cotidiana #5: Música

¿Sueñas con ser un músico conocido? Quizás te interese saber que algunos de los músicos más famosos de todos los tiempos, como Mozart o Bach, utilizaron elementos matemáticos en sus obras, relacionando algunos de sus compases con la razón áurea. Más adelante, Joseph Schillinguer, detalló un sistema de composición basado en principios matemáticos, principalmente la geometría. Esto demuestra la conexión entre música y matemáticas.

Ahora, ¡ánimos! que la matemática es parte de tu vida.

Para entrar en materia, es necesario recordar un par de ideas:
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
 

Sabido esto, enunciemos el Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Recuerda: Este Teorema sólo se cumple para triángulos rectángulos.

BC =  cateto   =  a

CA =  cateto   =  b                         

AB =  hipotenusa  =  c

         La expresión matemática que representa este Teorema es:

hipotenusa ²   =   cateto ²    +   cateto ²

        c²    =     a²    +    b²

Si se deseara comprobar este Teorema se debe construir un cuadrado sobre cada cateto y sobre la hipotenusa y luego calcular sus áreas respectivas, puesto que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

El siguiente esquema representa lo dicho anteriormente:

                                        

Una forma muy sencilla de explicar y de visualizar el Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo se verifica que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Álgebra de Baldor

Es un libro del matematico cubano Aurelio Baldor. La primera edición se produjo el 19 de junio de 1941. El texto de Baldor es el libro más consultado en escuelas y colegios de Latinoamérica.

ALGUNOS CAPITULOS DEL LIBRO

El libro contiene unos Preliminares, 39 capítulos más un apéndice. Los capítulos, en orden, son: sumas, restas, Signos de Agrupación, multiplicacion, division, Productos y Cocientes Notables, teorema del residuo, Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita, Descomposición factorial, máximo común divisor, mínimo común múltiplico, Fracciones Algebraicas-Reducción de Fracciones, Operaciones con Fracciones Algebraicas, Ecuaciones Numéricas fraccionarias de primer grado con una incógnita, Ecuaciones literales de primer grado con una incógnita, Problemas sobre Ecuaciones fraccionarias de Primer Grado, Problemas de los Móviles, Fórmulas, Desigualdades-Inecuaciones, Funciones, Representación gráfica de funciones, Gráficas-Aplicaciones Prácticas, Ecuaciones Indeterminadas, Ecuaciones Simultáneas de Primer Grado con dos incógnitas, Ecuaciones Simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas, Problemas que se resuelven por ecuaciones simultáneas, Estudio elemental de la teoría coordinatoria, potenciación, Teoría de los exponentes, radicales, Cantidades imaginarias, ecuaciones de segundo grado con una incógnita, Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado-Problema de las luces, Teoría de las Ecuaciones de segundo y también grados-Estudio del trinomio de segundo grado, Ecuaciones binomias y trinomias, Progresiones, logaritmos, interes compuesto, amortizaciones, imposiciones. El apéndice contiene: Una tabla para el cálculo del Interés compuesto, una tabla de interés compuesto decreciente, un cuadro de las formas básicas de la descomposición factorial y una tabla de potencias y raíces. Para finalizar aparecen las respuestas a los más de mil quinientos ejercicios en los que contiene algunos textos coloquiales.

 

 

La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1

"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"

Calculando desde el valor anterior

Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:

n	n!
1	1	1	1
2	2 × 1	= 2 × 1!	= 2
3	3 × 2 × 1	= 3 × 2!	= 6
4	4 × 3 × 2 × 1	= 4 × 3!	= 24
5	5 × 4 × 3 × 2 × 1	= 5 × 4!	= 120
6	etc	etc

Ejemplo: ¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362,880 ?

10! = 10 × 9!
10! = 10 × 362,880 = 3,628,800

Así que la regla es:

n! = n × (n-1)!

lo que significa "el factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número", por tanto 10! = 10 × 9!, o incluso 125! = 125 × 124!

Qué pasa con "0!"

El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que 0! = 1.
Parece raro que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas cuestiones.

¿Dónde se usa el factorial?

Los factoriales se usan en muchas áreas de las matemáticas, pero sobre todo en combinaciones y permutaciones

Una pequeña lista

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5,040
8	40,320
9	362,880
10	3,628,800
11	39,916,800
12	479,001,600
13	6,227,020,800
14	87,178,291,200
15	1,307,674,368,000
16	20,922,789,888,000
17	355,687,428,096,000
18	6,402,373,705,728,000
19	121,645,100,408,832,000
20	2,432,902,008,176,640,000
21	51,090,942,171,709,400,000
22	1,124,000,727,777,610,000,000
23	25,852,016,738,885,000,000,000
24	620,448,401,733,239,000,000,000
25	15,511,210,043,331,000,000,000,000

¡Como ves, crecen muy rápido!

Algunas valores muy grandes

70! es aproximadamente 1.1978571669969891796072783721 x 10¹⁰⁰, que es un poco más grande que un Gúgol (un 1 seguido de 100 ceros).
100! es aproximadamente 9.3326215443944152681699238856 x 10¹⁵⁷
200! es aproximadamente 7.8865786736479050355236321393 x 10³⁷⁴

¿Y los decimales?

¿Puedes calcular factoriales de 0.5 o -3.217?
¡Sí que puedes! Pero tienes que usar algo que se llama "función Gamma", y que es mucho más complicado que lo que tratamos aquí.

Factorial de un medio

Lo que sí te puedo decir es que el factorial de un medio (½) es la mitad de la raíz cuadrada de pi = (½)√π, y que los factoriales de algunos "semienteros" son:

n	n!
(-½)!	√π
(½)!	(½)√π
(3/2)!	(3/4)√π
(5/2)!	(15/8)√π

Y todavía complen la regla deque "el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)", por ejemplo

(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)! 

¿Puedes averiguar cuánto es (7/2)!?

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: 

• seno,  
• coseno, 
  
• tangente, 
• cotangente, 
  
• secante, 
• cosecante. 

Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

 

El Ábaco

El ábaco es un instrumento de cálculo que podemos encontrar en muchas casas o escuelas, es una de las calculadoras más antiguas que conocemos y que ha llegado hasta nuestros días.

Fue inventado en Asia menor, y es considerado el precursor de la calculadora digital moderna. Utilizado por mercaderes en la Edad Media a través de toda Europa y el mundo árabe, fue reemplazado en forma gradual por la aritmética basada en los números indo-árabes. Aunque poco usado en Europa después del siglo XVIII, todavía se emplea en Medio Oriente, Rusia, China, Japón y Corea.

Por ser un material manipulable y muy atractivo resulta muy útil para entender el sistema posicional de numeración y para comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones). Aunque se puede usar para la multiplicación, la división e incluso la raíz cuadrada, no lo encuentro muy práctico para estas operaciones.

Existen muchos tipos de ábaco: el horizontal (que es el que podemos encontrar en las jugueterías o tiendas de material educativo), el vertical, el chino, el japonés,…

Dos usos fundamentales del ábaco:

•    Comprender el sistema posicional de nuestros números. Es imprescindible que las niñas y los niños entiendan la importancia de la posición de los dígitos y no que lo aprendan mecánicamente.

•    Entender el sentido de las operaciones básicas. El niño puede comprender de manera práctica como funcionan los algoritmos de la suma y de la resta. En lugar, de aprender de carrerilla “me llevo una”, puede entender el proceso

Además, el ábaco puede ser muy útil para trabajar distintos conceptos si queréis una información exhaustiva de actividades para hacer con el ábaco, no dejéis de leer este documento.

Sistema posicional de los números

El ábaco es útil cuando el niño ya tiene la noción de cantidad y ha trabajado a través de otro material más concreto el sistema posicional, ya que en el ábaco las unidades, decenas, etc. son abstractas.

Para trabajar el sistema posicional, yo primero lo haría con materiales concretos como por ejemplo palillos, como proponen en algoritmos ABN, o con cualquier otro tipo de material, donde las decenas sean “físicamente” un grupo de 10 unidades.

El ábaco sería un segundo paso, más abstracto, donde una bolita de un color sustituye a 10 bolas de otro color, sólo por la posición que ocupa.

Un ejercicio que podemos proponer es representar diferentes números en el ábaco de acuerdo a los conocimientos del niño, para que sea más lúdico podemos usar dados o las bolas de un bingo o cualquier otro material que nos dé números al azar, podemos así mismo, representar números conocidos como las edades de los miembros de la familia o el número de nuestra casa o el número del calzado. También se puede poner un número en el ábaco y pedirle que lo escriba, ya que como siempre, las acciones hay que hacerlas en las dos direcciones.

En un ábaco horizontal, la primera fila de bolas representa las unidades la segunda fila representa las decenas, la tercera fila las centenas y así siguiendo. Comenzaremos agrupando todas las bolas de todas las filas a la izquierda (o a la derecha) y  si queremos representar por ejemplo, el número 75, tomaremos cinco bolitas de la primera fila y las moveremos hacia la derecha y siete bolitas de la segunda fila y las moveremos a la derecha, así tendremos representado el número 75.

Enfrentarse a las matemáticas siempre ha sido el terror de cientos de personas. No importa en la etapa en la que te encuentres, de niños o adultos, en ocasiones, son un dolor de cabeza.

Sin embargo, los números tiene su encanto y gracias a ellos muchos científicos han podido descifrar parte del mundo que nos rodea, haciéndonos la vida más fácil con nuevas tecnologías y demás inventos.

No obstante, los números en sí, siguen siendo un misterio, pues muchos aseguran que con las matemáticas se podría descifrar el mundo entero, sólo hace falta encontrar las fórmulas...

1. Barajar los naipes siete veces. Cuando se juega cartas, siempre se pide que éstas sean bien revueltas para que el juego sea parejo. Pero te has preguntado, ¿cuántas veces se tienen que barajar? Los matemáticos estadounidenses Persi Diaconis y David Bayer estudiaron este dilema en 1991, y comprobaron que para que una baraja de 52 naipes esté bien mezclada es necesario hacerlo siete veces; así, cada carta tiene la misma probabilidad de encontrarse en cualquier posición. La conclusión es: mezclar las cartas más de siete veces es innecesario y menos de siete insuficiente.




2. Si multiplicamos 111111111 x 111111111 el resultado es 12345678987654321.

3. Se considera que el número más curioso que existe es el 142857, ya que si lo multiplicamos por 7 el resultado es 999999. Además si lo multiplicamos por 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nos dará como resultado la misma serie de números en distinto orden.


3 X 142857 = 428571
5 X 142857 = 714285

4. Las 10:08 y las 10:10 en los relojes de manecillas. Te has fijado que en la mayoría de los anuncios de relojes las agujas aparecen dando la hora 10:08 y 10:10... Este hecho se debe a que las manillas forman un "tick" o "check", que significa "aceptable" u "ok". Además esta posición puede asemejar a una sonrisa.

También se menciona que si se dibuja un rectángulo dentro de la esfera con el límite marcado por el minutero, éste sería aproximadamente un rectángulo áureo; y se ha demostrado que todo aquello que tenga proporciones aureas es agradable a la vista.



5. "+" y "-". Según el matemático español Rey Pastor, los signos "+" y "-" fueron usados por primera vez por el científico alemán Widmann en el siglo XVI; sin embargo, se menciona que fue el matemático alemán Michael Stifel quien popularizó los símbolos "+" y "-" haciendo a un lado a los utilizados "p" (plus) y "m" (minus).

6. "=". El signo de igual, fue implementado por el matemático y médico inglés, Robert Recode, ya que para él, no había dos cosas más iguales que dos líneas rectas paralelas =.

7. Los símbolos de multiplicación "x" y división ":" fueron introducidos por el matemático WilliamOughtred en el año 1657.




8. Mucho se ha mencionado que el "0" fue inventado por los mayas, pero no lo utilizaron de manera clara y en forma matemática. Tal y como lo conocemos ahora, el cero fue empleado, por primera vez, en la India y se trasladó a Europa por medio de los Árabes. Cero proviene de la palabra árabe sifr, que significa vacía.

9. El número Pi. El 3.14159... Lleva ese símbolo debido a que se solía utilizar la letra "p" (peripheria) para designar a la razón entre circunferencia y diámetro, aunque el inglés William Jonias (1706), ya utilizaban el símbolo. Fue Leonhard Euler quien los introdujo de forma definitiva al utilizarlo en su libro "Introductio In Analysin Infinitorum", publicado en 1748. 




10. Truco con los dados. Puedes ser el alma de la fiesta si retas a tus amigos de que eres capaz de sumar las caras ocultas de los dados... ¡Esto es posible! Si apilan tres dados, sólo tienes que restar el número que se ve en la cima a 21, y así obtendrás el resultado. Pero si apilan cuatro dados, tendrás que restarle el número que se ve a 28 y acertarás. Este truco se basa en que las caras opuestas de un dado de seis caras suman 7.

 

INFINITOS

INFINITO ACTUAL

 Esta concepción del infinito surge al considerarlo como una unidad. Esto es, tenemos una (en el sentido de unidad) “cosa” que es infinitamente grande o numerosa, como los números naturales o los números múltiplos de 27. Lo tratamos como si fuese un elemento que surge al superar el paso al limite. Aparece cuando ya hemos llegado , cuando tenemos el total. Esta idea nos crea dificultades pues no tenemos un infinito, sino muchos, lo que supone dificultades para la comparación y en definitiva para la medición. En efecto, admitiendo la existencia del infinito actual, pues muchos matemáticos la negaron -como por ejemplo Cauchy, Gauss-, es fácil demostrar que tenemos varios infinitos, lo que implica que unos son diferentes de otros y, por tanto, de distintos tamaño. Esto es, tendremos unos infinitos mayores que otros. De manera intuitiva, si consideramos los números múltiplos de 27 y los números naturales, ambos son infinitos, aunque “parece” que el primero es 27 veces más pequeño que el segundo, sin embargo, ambos son infinitamente grandes. En términos lógicos podríamos decir que el segundo esta contenido en el primero y, teniendo en cuenta el postulado de Euclides, que establece que el todo es mayor que las partes, ambos infinitos deberían ser distintos, pero no lo son, pues tienen el mismo tamaño. Llamamos tamaño de un conjunto a su cardinal, y el cardinal de ambos conjuntos es el mismo, como demostró Cantor. El razonamiento de Cantor es simple. Basta con comprobar que se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los múltiplos de 27, de manera que estos conjuntos son equipolentes (tienen el mismo numero cardinal). De la misma forma se pueden numerar los puntos de una semicircunferencia o los puntos de una recta.

 

 INFINITO POTENCIAL 

Esta concepción del infinito corresponde a una interpretación teleológica del infinito. En efecto, la teleología estudia las causas finales y el infinito potencial trata de alcanzar su final, sabiendo que nunca llegará, pues siempre hay más, ya sean números, pasos, intervalos... El infinito potencial esta vinculado a la reiteración de un proceso que nunca finaliza, dando lugar a numerosos problemas y paradojas, desde la de Aquiles y la tortuga a la de Zenon, sobre la imposibilidad del movimiento (¿cómo dar infinitos pasos en un tiempo limitado?). Esta concepción del infinito potencial es la que se liga con la idea de limite, o mejor con la operación de paso al limite. Obsérvese que ambos conceptos sólo existen como tendencia, en potencia, ya que los dos son inaccesibles, lo que implica que no deben considerarse como sinónimos las expresiones infinito e ilimitado. De manera análoga no debe concluirse que cuando un conjunto está contenido en otro el primero es menor. Piense en el conjunto de los números naturales y el de los números pares. En principio podría parecer que hay el doble de números naturales que de pares. Sin embargo, ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos. Esta idea queda aclarada si por tamaño de un conjunto entendemos su cardinal, de manera que un conjunto contenido en otro puede tener el mismo tamaño que el primero. En este sentido se rompe el postulado de que el todo es mayor que las partes. La solución a esta aparente antinomia es aceptar que estar contenido no supone ser más pequeño, tener menor tamaño. En términos “euclideos” se podría ampliar su postulado diciendo que el todo es mayor o igual que las partes.

TRANSFINITOS DE CANTOR 

Las concepciones actual y potencial del infinito, como hemos dicho, surgieron para evitar problemas (en parte teológicos) y paradojas que imposibilitasen el avance del conocimiento. Ciertos matemáticos, como Gauss, negaron la existencia del infinito actual, admitiendo solo la posibilidad del infinito potencial. Para este autor no se podía admitir el hablar del infinito completo, “ya que en matematicas no esta permitido”. Cantor observó que se podía establecer una correspondencia biyectiva entre los puntos de un segmento y los de un rectángulo, lo que comunico a su maestro Kronecker, quien respondió con la famosa frase “lo veo pero no lo creo”. Kronecker, defensor de las teorías constructivista, sostenía la idea de que “Dios creó el numero natural, el resto es obra de los hombres”. Este trabajo de Cantor fue el origen de la separación entre el maestro y el discípulo, ya que Kronecker “perdió” el trabajo que Cantor había mandado para que se publicase en el Journal de Crelle y tardo mucho tiempo en ver la luz (¿intervino Dedekind, en la aparición?). Este enfrentamiento entre maestro y discípulo llegó a unos limites no deseados. Se dijo de Cantor que era un charlatán científico, renegado, corruptor de la juventud. Poincaré, ante las ideas de Cantor de poder hablar de una aritmética de los números transfinitos, llegó a decir que era una enfermedad y que ya se curaría (las matematicas y Cantor, que tuvo varias crisis maniaco depresivas, y esta enfermedad le llevo a pensar que Dios le había revelado la existencia de los números transfinitos, por lo que debían ser tratados no sólo desde la perspectiva matemática, sino en un ámbito más amplio, como el teológico). Las ideas de Cantor de que había unos infinitos más infinitos que otros, además de llevar al escándalo, condujo a la formalización y ampliacion de ciertos conceptos como el de cardinalidad y ordinalidad. No voy a profundizar en estos conceptos pues son de sobra conocidos. Permítaseme señalar que los cardinales nos indican el tamaño del conjunto sin ordenar. Esto es, sin prestar atención al orden. Al conjunto de los números naturales lo designó Cantor con el nombre de 0 ℵ . Los ordinales nos informarán sobre el tamaño del conjunto cuando los elementos de éste están bien ordenados. Esto es, toda parte no vacía tiene un elemento mínimo. El primer ordinal Ideología y Matemáticas: El infinito.. XIII Jornadas de ASEPUMA 7 transfinito lo designo Cantor por ω 2 . Una vez obtenido el primer transfinito podemos obtener los siguientes sin mas que añadir 1 al anterior, de esta manera tendremos ω + ,1 ω + 2,...,ω +ω = 2ω ,... ,..., ω ω ω ω ⋅ . Cantor planteo y no resolvió el llamado problema del continuo. Entre 0 ℵ , cardinal de los enteros y 0 2 ℵ , el cardinal de los reales ¿existe algún cardinal intermedio? Gödel y Cohen demostraron que la teoría del continuo se puede tomar como cierta o no sin que afecte a la teoría de conjuntos. El infinito actual no sólo no es paradójico, sino que es coherente, lo que nos obligará realizar una reconsideración de la formulación, utilización y revisión del concepto de infinito.