INFINITOS

INFINITO ACTUAL

 Esta concepción del infinito surge al considerarlo como una unidad. Esto es, tenemos una (en el sentido de unidad) “cosa” que es infinitamente grande o numerosa, como los números naturales o los números múltiplos de 27. Lo tratamos como si fuese un elemento que surge al superar el paso al limite. Aparece cuando ya hemos llegado , cuando tenemos el total. Esta idea nos crea dificultades pues no tenemos un infinito, sino muchos, lo que supone dificultades para la comparación y en definitiva para la medición. En efecto, admitiendo la existencia del infinito actual, pues muchos matemáticos la negaron -como por ejemplo Cauchy, Gauss-, es fácil demostrar que tenemos varios infinitos, lo que implica que unos son diferentes de otros y, por tanto, de distintos tamaño. Esto es, tendremos unos infinitos mayores que otros. De manera intuitiva, si consideramos los números múltiplos de 27 y los números naturales, ambos son infinitos, aunque “parece” que el primero es 27 veces más pequeño que el segundo, sin embargo, ambos son infinitamente grandes. En términos lógicos podríamos decir que el segundo esta contenido en el primero y, teniendo en cuenta el postulado de Euclides, que establece que el todo es mayor que las partes, ambos infinitos deberían ser distintos, pero no lo son, pues tienen el mismo tamaño. Llamamos tamaño de un conjunto a su cardinal, y el cardinal de ambos conjuntos es el mismo, como demostró Cantor. El razonamiento de Cantor es simple. Basta con comprobar que se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los múltiplos de 27, de manera que estos conjuntos son equipolentes (tienen el mismo numero cardinal). De la misma forma se pueden numerar los puntos de una semicircunferencia o los puntos de una recta.

 

 INFINITO POTENCIAL 

Esta concepción del infinito corresponde a una interpretación teleológica del infinito. En efecto, la teleología estudia las causas finales y el infinito potencial trata de alcanzar su final, sabiendo que nunca llegará, pues siempre hay más, ya sean números, pasos, intervalos... El infinito potencial esta vinculado a la reiteración de un proceso que nunca finaliza, dando lugar a numerosos problemas y paradojas, desde la de Aquiles y la tortuga a la de Zenon, sobre la imposibilidad del movimiento (¿cómo dar infinitos pasos en un tiempo limitado?). Esta concepción del infinito potencial es la que se liga con la idea de limite, o mejor con la operación de paso al limite. Obsérvese que ambos conceptos sólo existen como tendencia, en potencia, ya que los dos son inaccesibles, lo que implica que no deben considerarse como sinónimos las expresiones infinito e ilimitado. De manera análoga no debe concluirse que cuando un conjunto está contenido en otro el primero es menor. Piense en el conjunto de los números naturales y el de los números pares. En principio podría parecer que hay el doble de números naturales que de pares. Sin embargo, ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos. Esta idea queda aclarada si por tamaño de un conjunto entendemos su cardinal, de manera que un conjunto contenido en otro puede tener el mismo tamaño que el primero. En este sentido se rompe el postulado de que el todo es mayor que las partes. La solución a esta aparente antinomia es aceptar que estar contenido no supone ser más pequeño, tener menor tamaño. En términos “euclideos” se podría ampliar su postulado diciendo que el todo es mayor o igual que las partes.

TRANSFINITOS DE CANTOR 

Las concepciones actual y potencial del infinito, como hemos dicho, surgieron para evitar problemas (en parte teológicos) y paradojas que imposibilitasen el avance del conocimiento. Ciertos matemáticos, como Gauss, negaron la existencia del infinito actual, admitiendo solo la posibilidad del infinito potencial. Para este autor no se podía admitir el hablar del infinito completo, “ya que en matematicas no esta permitido”. Cantor observó que se podía establecer una correspondencia biyectiva entre los puntos de un segmento y los de un rectángulo, lo que comunico a su maestro Kronecker, quien respondió con la famosa frase “lo veo pero no lo creo”. Kronecker, defensor de las teorías constructivista, sostenía la idea de que “Dios creó el numero natural, el resto es obra de los hombres”. Este trabajo de Cantor fue el origen de la separación entre el maestro y el discípulo, ya que Kronecker “perdió” el trabajo que Cantor había mandado para que se publicase en el Journal de Crelle y tardo mucho tiempo en ver la luz (¿intervino Dedekind, en la aparición?). Este enfrentamiento entre maestro y discípulo llegó a unos limites no deseados. Se dijo de Cantor que era un charlatán científico, renegado, corruptor de la juventud. Poincaré, ante las ideas de Cantor de poder hablar de una aritmética de los números transfinitos, llegó a decir que era una enfermedad y que ya se curaría (las matematicas y Cantor, que tuvo varias crisis maniaco depresivas, y esta enfermedad le llevo a pensar que Dios le había revelado la existencia de los números transfinitos, por lo que debían ser tratados no sólo desde la perspectiva matemática, sino en un ámbito más amplio, como el teológico). Las ideas de Cantor de que había unos infinitos más infinitos que otros, además de llevar al escándalo, condujo a la formalización y ampliacion de ciertos conceptos como el de cardinalidad y ordinalidad. No voy a profundizar en estos conceptos pues son de sobra conocidos. Permítaseme señalar que los cardinales nos indican el tamaño del conjunto sin ordenar. Esto es, sin prestar atención al orden. Al conjunto de los números naturales lo designó Cantor con el nombre de 0 ℵ . Los ordinales nos informarán sobre el tamaño del conjunto cuando los elementos de éste están bien ordenados. Esto es, toda parte no vacía tiene un elemento mínimo. El primer ordinal Ideología y Matemáticas: El infinito.. XIII Jornadas de ASEPUMA 7 transfinito lo designo Cantor por ω 2 . Una vez obtenido el primer transfinito podemos obtener los siguientes sin mas que añadir 1 al anterior, de esta manera tendremos ω + ,1 ω + 2,...,ω +ω = 2ω ,... ,..., ω ω ω ω ⋅ . Cantor planteo y no resolvió el llamado problema del continuo. Entre 0 ℵ , cardinal de los enteros y 0 2 ℵ , el cardinal de los reales ¿existe algún cardinal intermedio? Gödel y Cohen demostraron que la teoría del continuo se puede tomar como cierta o no sin que afecte a la teoría de conjuntos. El infinito actual no sólo no es paradójico, sino que es coherente, lo que nos obligará realizar una reconsideración de la formulación, utilización y revisión del concepto de infinito.